러셀의 역설

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1. 개요

러셀의 역설은 19세기 말, 20세기 초에 나타난 논리 체계의 모순으로, 집합론의 기초를 흔들었다. 이 역설은 "자신을 원소로 포함하지 않는 집합"을 정의하고, 이 집합이 자기 자신을 포함하는지 여부에 따라 모순이 발생한다는 것을 보여준다. 러셀의 역설은 소박한 집합론의 문제점을 드러냈으며, 이를 해결하기 위해 공리적 집합론, 단순형 이론, 부분구조 논리 등 다양한 해결책이 제시되었다. 이발사의 역설, 그렐링-넬슨 역설 등과 같은 러셀류 역설과 부랄리-포르티 역설, 클린-로서 역설 등 관련 역설이 존재한다.

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러셀의 역설
개요
유형	집합론의 역설
발견자	버트런드 러셀
발견 시기	1901년
관련 개념	집합론 순진한 집합론 공리적 집합론 자기 지시
핵심 내용	"자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"이라는 개념은 모순을 야기한다.
상세 내용
정의	자신을 원소로 포함하지 않는 집합들의 집합
문제점	만약 이 집합이 자신을 포함한다면 정의에 의해 자신을 포함하지 않아야 하며, 반대로 자신을 포함하지 않는다면 정의에 의해 자신을 포함해야 하므로 모순이 발생한다.
역사
발견	1901년 버트런드 러셀이 고틀로프 프레게에게 보낸 편지를 통해 처음으로 알려졌다.
프레게의 반응	이 역설은 그의 저서 《산술의 기본 법칙》의 기초를 무너뜨리는 것으로 간주되어 큰 충격을 주었다.
해결 시도	공리적 집합론의 개발 (예: ZF 집합론) 유형 이론의 제시
영향
집합론의 발전	집합론에 대한 엄밀한 접근의 필요성을 일깨우고, 공리적 집합론 발달의 주요 동기가 되었다.
논리학과 철학	논리학, 수학 기초론, 철학에 큰 영향을 미쳐 자기 지시 및 모순의 개념을 심도있게 탐구하게 하였다.
다른 이름
일본어	ラッセルのパラドックス
한국어	러셀의 역설
추가 정보
관련 서적	A.A. Fraenkel, Y. Bar-Hillel, A. Levy, Foundations of Set Theory Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik II Gottlob Frege, Grundgesetze der Arithmetik II

2. 정의

'''러셀의 역설'''은 "자기 자신을 원소로 포함하지 않는 모든 집합들의 집합"을 정의할 때 발생하는 논리적 모순이다.

모든 정규 집합의 집합 ''R''을 생각해 보자. ''R''이 정규 집합이라면, 자기 자신을 원소로 포함해야 하므로 비정규 집합이 된다. 반대로 ''R''이 비정규 집합이라면, 자기 자신을 원소로 포함하지 않아야 하므로 정규 집합이 된다. 즉, ''R''은 정규 집합이면서 동시에 비정규 집합이 되는 모순이 발생한다.

집합은 사물과는 다른 존재 방식을 가지며, 세계를 구성하는 존재자가 아니라 논리적 허구에 불과하다. 따라서 "집합이 자기 자신의 원소인지 아닌지" 묻는 것은 참도 거짓도 아닌 무의미한 질문이다.

2. 1. 소박한 집합론

페아노의 집합론을 가정하고 다음과 같은 집합을 생각할 수 있다.

:

y=\{x\colon x\not\in x\}

즉, 임의의

x

에 대하여,

:

x\in y\iff x\not\in x

이다. 특히,

x=y

인 경우

:

y\in y\iff y\not\in y

이며, 이는 모순이다. 다시 말해, 만약

y\in y

라고 가정하면,

y

의 정의에 따라

y\not\in y

이므로 가정에 모순되며, 반대로 만약

y\not\in y

라고 가정하여도

y

의 정의에 따라

y\in y

이므로 가정과 모순이다.^[7]

이러한 소박한 집합론에서 아무 원소를 포함하지 않는 공집합은 ψ = { } 로 표시하는데, 이러한 공집합을 표현할 수 있는 서술 방법은 무한히 많다. 예를 들어 { x | x=1 and x≠1 } = ψ 와 같이 표현할 수 있다. 러셀의 역설에서 가정하는 집합은 수학적 대상은 아니지만, 소박한 집합론에서 공집합의 원소는 될 수 있다. 공집합에 자신을 원소로 포함시키는 과정을 되풀이하면, ψ, {ψ}, {ψ, {ψ}},… 와 같이 되고, 자연수가 도출된다.

후대 수학자들은 칸토어가 발견한 집합론을 공리 집합론과 구분 짓기 위해 ‘소박한’이라는 단어를 붙였다. ‘naïve’ 란 단어를 ‘소박한’이라고 긍정적으로 해석했지만, ‘덜 성숙된’, ‘생각이 얕은’ 과 같은 느낌의 단어이다.

일반적으로 접하는 대부분의 집합은 자신을 원소로 포함하지 않는다. 자신을 원소로 포함하지 않는 집합을 "정규 집합", 자신을 원소로 포함하는 집합을 "비정규 집합"이라고 부를 수 있다. 예를 들어, 평면에 있는 모든 정사각형의 집합을 생각해 보자. 이 집합 자체는 평면에 있는 정사각형이 아니므로, 자신을 원소로 포함하지 않으며 따라서 정규 집합이다. 반대로, 평면에 있는 것이 '''아닌''' 모든 것을 포함하는 여집합은 그 자체가 평면에 있는 정사각형이 아니므로, 자신의 원소 중 하나이며 따라서 비정규 집합이다.

자기 자신을 원소로 포함하지 않는 집합을 “M 집합”이라고 하고, 모든 M 집합을 원소로 하는 집합 R을 만들어 보자. 그러면 임의의 집합 X에 대해서 “X는 R에 포함된다” ⇔ “X는 X에 포함되지 않는다”라는 식이 성립한다. 그리고 특히 X=R이라면 “R은 R에 포함된다” ⇔ “R은 R에 포함되지 않는다”가 되어 역설이 명시된다.

2. 2. 프레게의 《산술의 기본 법칙》

프레게가 저술한 《산술의 기본 법칙》의 논리 체계에서는 논리식의 변수를 논리식으로 직접 치환할 수는 없지만, 논리식의 '''값렬'''(값-列, course-of-values, value-range^영어)로는 치환할 수 있다. 따라서 이 체계에서도 러셀의 역설과 유사한 형태의 역설이 발생한다.^[7]

구체적으로, 1개의 자유 변수를 갖는 논리식

\phi

의 값렬

\operatorname{cov}\phi

는 다음과 같은 공리로 정의된다.

:

\forall\phi\forall\psi((\operatorname{cov}\phi=\operatorname{cov}\psi)\iff\forall x(\phi[x]\iff\psi[x]))

《산술의 기본 법칙》의 논리 체계에서, 1개의 자유 변수를 갖는 논리식

\phi

,

\psi

에 대하여,

\phi[\psi]

는 논리식이 아니지만,

\phi[\operatorname{cov}\psi]

는 새로운 논리식이다. 여기서 다음과 같은 논리식

\psi

를 생각해 보자.

:

\psi=\lnot\forall\phi((\operatorname{cov}\phi=x)\implies\phi[x])

이는 1개의 자유 변수

x

를 갖는 논리식이다. 그러면 다음 식이 성립한다.

:

\lnot\psi[\operatorname{cov}\psi]\iff\forall\phi((\operatorname{cov}\phi=\operatorname{cov}\psi)\implies\phi[\operatorname{cov}\psi])\iff\psi[\operatorname{cov}\psi]

이는 모순이다. 다시 말해,

\lnot\psi[\operatorname{cov}\psi]

라고 가정하면,

\psi

의 정의에 따라

:

\forall\phi((\operatorname{cov}\phi=\operatorname{cov}\psi)\implies\phi[\operatorname{cov}\psi])

가 성립하고, 특히

\operatorname{cov}\psi=\operatorname{cov}\psi

이므로

\psi[\operatorname{cov}\psi]

이다. 이는 가정

\lnot\psi[\operatorname{cov}\psi]

과 모순이다. 반대로, 만약

\psi[\operatorname{cov}\psi]

라고 가정하면, 값렬의 정의에 따라

:

\forall\phi((\operatorname{cov}\phi=\operatorname{cov}\psi)\implies\phi[\operatorname{cov}\psi])

가 성립하며, 다시

\psi

의 정의에 따라

\lnot\psi[\operatorname{cov}\psi]

이다. 이는 가정

\psi[\operatorname{cov}\psi]

과 모순이다.^[7]

2. 3. 기타

논리식의 변수를 논리식으로 치환할 수 있는 체계에서는 일반적인 형태의 역설이 발생한다. 이러한 체계에서는 자유 변수

\phi

하나를 갖는 논리식

\psi=\lnot\phi[\phi]

을 생각하면 모순

\psi[\psi]\iff\lnot\psi[\psi]

을 얻게 된다.^[7] 이는 러셀의 역설과 유사한 형태의 모순이다.

3. 역사

19세기 말 20세기 초, 대부분의 논리 체계는 러셀의 역설로 알려진 모순을 내포하고 있었다.^[48]^[49] 에른스트 체르멜로 또한 이와 유사한 역설을 독자적으로 발견하였다.

러셀은 1903년 저서 ''수학 원리''에서 이 역설을 처음 접했던 경험을 자세히 다루었으며,^[15] 프레게가 ''산술의 기본법칙'' 2권을 준비하던 중 이 역설을 알게 되었다.^[16] 프레게는 곧바로 답장을 보냈고,^[17] 역설을 인정한 부록을 작성했다.^[17] 러셀은 유형 이론을 제시하며 대응했다.^[20]

1923년, 루트비히 비트겐슈타인은 함수의 기호가 자신의 인수의 원형을 포함하고 있어 스스로를 포함할 수 없다는 이유를 들어 러셀의 역설을 해결하려 했다. (''논리철학논고'', 3.333)

화이트헤드와 러셀은 ''수리원리''에서 순진적 집합론의 역설을 제거하고자 유형 이론을 사용했다. 그들은 산술을 확립하는 데는 성공했지만, 순전히 논리적인 방법으로 그렇게 했는지는 불분명하다. ''수리원리''는 알려진 역설들을 피하고 많은 수학을 유도할 수 있게 했지만, 새로운 문제들을 야기했다.

쿠르트 괴델은 1930~31년에 ''수리원리''의 논리가 완전하다는 것을 증명했지만, 페아노 산술은 모순이 없다면 반드시 불완전하다는 것을 보였다. 이는 프레게의 논리주의 프로그램을 완성하는 것이 불가능하다는 것을 보여준 것으로 간주된다.

2001년, 러셀의 역설 100주년을 기념하는 국제 학술회의가 뮌헨에서 열렸다.^[12]

3. 1. 역설의 발견

러셀은 1901년 5월이나 6월에 칸토어의 논문을 검토하는 과정에서 이 역설을 발견하였다.^[48]^[49] 1902년에 프레게에게 보내는 서신에서 프레게의 《개념 표기법》의 논리 체계에서 “자기 자신을 술어로 가할 수 없다는 술어”를 정의할 경우 모순이 유도된다고 지적하였다. 프레게는 러셀에게 보낸 회신에서 그 역설이 《개념 표기법》에 적용될 수 없다고 정정하면서도, (《개념 표기법》을 확장한) 《산술의 기본 법칙》 속의 역설로 수정될 수 있음을 설명하였다.^[49]

에른스트 체르멜로도 비슷한 시기에 이 역설을 독립적으로 발견하였다.^[22] 그는 1903년 이전에 힐베르트 교수 등에게 알렸다고 한다.^[23]

정설로는, 1902년 6월 16일자 러셀이 프레게에게 보낸 편지가 이 역설의 기원으로 여겨진다. 그러나 1899년부터 1900년에 걸쳐 에른스트 체르멜로가 독자적으로 같은 역설을 발견하여 다비트 힐베르트와 에드문트 후설에게 알렸다. 따라서 "체르멜로-러셀의 역설"이라고 불러야 한다는 의견도 있다.

러셀의 역설 발견과 관련된 주요 사건
날짜	사건
1901년 5월 또는 6월	러셀이 칸토어의 논문을 검토하는 과정에서 역설 발견^[48]^[49]
1899년 ~ 1900년	체르멜로가 독자적으로 역설 발견, 힐베르트와 후설에게 알림
1902년 6월 16일	러셀이 프레게에게 역설을 알리는 편지 발송
1902년 6월 22일	프레게가 러셀에게 회신 발송
1903년	프레게, 《산술의 기본 법칙》 제2권 후기에 러셀의 역설 공개
1903년	러셀, 《수학 원리》 출판, 타입 이론 시작
1903년 11월 7일	힐베르트가 프레게에게 회신, 체르멜로의 역설 발견 기록
1908년	체르멜로, "집합론의 기초에 관한 연구" 발표, 공리적 집합론 시작

3. 2. 프레게에게 알림

1902년에 러셀은 프레게에게 편지를 보내 그의 1879년 저서 ''개념기호법 (Begriffsschrift)''에서 역설을 발견했다고 알렸다.^[14] 그는 논리와 집합론, 특히 프레게의 함수 정의에서 문제를 제기했다.

러셀은 프레게가 그의 ''산술의 기본법칙''의 두 번째 권을 준비하고 있을 때 이 역설에 대해 알렸다.^[16] 프레게는 이 편지에 매우 빨리 답장했다.^[17] 1902년 6월 22일자 그의 편지는 van Heijenoort의 해설과 함께 Heijenoort 1967:126–127에 실렸다. 프레게는 그 후 역설을 인정하는 부록을 작성했고,^[17] 러셀이 그의 ''수학 원리''에서 지지할 해결책을 제안했지만,^[18] 나중에 일부 사람들에 의해 만족스럽지 않다고 여겨졌다.^[19]

3. 3. 체르멜로의 독립적 발견

에른스트 체르멜로도 비슷한 시기에 이 역설을 독립적으로 발견하였다.^[22] 체르멜로는 1903년 이전에 이미 이 역설을 발견하여 힐베르트 등에게 알렸다고 한다.^[23] 1903년 11월 7일 프레게에게 보낸 힐베르트의 편지에는 "체르멜로 박사가 3~4년 전에 그것을 발견했다고 생각합니다"라는 내용이 담겨 있다.^[24]

3. 4. 한국에의 영향

이 역설은 한국의 수리논리학 및 집합론 연구에 큰 영향을 미쳤다.

4. 철학적 함의

러셀의 역설은 이전의 "외연적 집합 개념"에 큰 영향을 미쳤다. 외연적 집합 개념에서는 사물의 임의적인 모임을 집합으로 간주하고, 그 원소들의 성질이나 수에 제한을 두지 않았다.^[8] 특히, 집합과 진정한 클래스(class) 사이에는 구분이 없었고, 각 원소의 존재는 해당 원소들 집합의 존재를 보장한다고 여겨졌다.

하지만 러셀의 역설과 부랄리-포르티 역설 같은 역설들은 모든 사물이 존재함에도 불구하고 집합을 형성하지 않는 경우가 있음을 보여주면서, 이러한 집합 개념이 불가능하다는 것을 증명했다.^[8] 즉, 모든 사물의 모임이 항상 집합을 이루는 것은 아니다.

5. 집합론적 대응

칸토어의 집합론이나 주세페 페아노의 집합론에서는 다음과 같은 집합을 생각할 수 있다.

: $y=\{x\colon x\not\in x\}$

이는 임의의 $x$ 에 대하여, $x\in y\iff x\not\in x$ 임을 의미한다. 특히 $x=y$ 인 경우, $y\in y\iff y\not\in y$ 가 되어 모순이 발생한다. 즉, $y\in y$ 라고 가정하면 $y$ 의 정의에 따라 $y\not\in y$ 이므로 모순이고, $y\not\in y$ 라고 가정해도 $y$ 의 정의에 따라 $y\in y$ 이므로 모순이다.^[7]

프레게의 《산술의 기본 법칙》 논리 체계에서는 논리식의 변수를 논리식으로 직접 치환할 수는 없지만, 논리식의 '''값렬'''(-列, course-of-values, value-range^영어)로는 치환할 수 있어 러셀의 역설이 발생한다. 1개의 자유 변수를 갖는 논리식 $\phi$ 의 값렬 $\operatorname{cov}\phi$ 는 다음과 같은 공리로 정의된다.

: $\forall\phi\forall\psi((\operatorname{cov}\phi=\operatorname{cov}\psi)\iff\forall x(\phi[x]\iff\psi[x]))$

이 체계에서 1개의 자유 변수를 갖는 논리식 $\phi$ , $\psi$ 에 대하여 $\phi[\psi]$ 는 논리식이 아니지만, $\phi[\operatorname{cov}\psi]$ 는 새로운 논리식이다. 여기서 다음과 같은 논리식 $\psi$ 를 생각한다.

: $\psi=\lnot\forall\phi((\operatorname{cov}\phi=x)\implies\phi[x])$

이는 1개의 자유 변수 $x$ 를 갖는 논리식이다. 그러면

: $\lnot\psi[\operatorname{cov}\psi]\iff\forall\phi((\operatorname{cov}\phi=\operatorname{cov}\psi)\implies\phi[\operatorname{cov}\psi])\iff\psi[\operatorname{cov}\psi]$

이며, 이는 모순이다.

논리식의 변수를 논리식으로 치환할 수 있는 논리 체계의 경우, 1개의 자유 변수 $\phi$ 를 갖는 논리식 $\psi=\lnot\phi[\phi]$ 을 생각하면 모순 $\psi[\psi]\iff\lnot\psi[\psi]$ 을 얻는다.

칸토어의 집합론은 러셀의 역설과 같은 서술이 논리적으로 참인지 거짓인지를 판별할 수 있는 강력한 이론이었다. 소박한 집합론에서 공집합은 아무 원소도 포함하지 않으며, ψ = { } 로 표시된다. 공집합을 표현하는 방법은 무한히 많다. (예: { x | x=1 and x≠1 } = ψ) 러셀의 역설에서 가정하는 집합은 수학적 대상은 아니지만, 소박한 집합론에서 공집합의 원소는 될 수 있다. 공집합에 자신을 원소로 포함시키는 과정을 되풀이하면 ψ, {ψ}, {ψ, {ψ}},…. 되고, 자연수가 도출된다. 집합론은 다른 수학 이론의 기초가 되고, 함수를 정의할 수 있으며, 무한한 대상들을 다룰 수 있는 유일한 방법을 제공한다. 그래서 힐베르트는 칸토어의 집합론이 이끄는 세계를 수학자의 낙원이라고 묘사했다.

'소박한 집합론'에서 ‘소박한’은 후대 수학자들이 칸토어가 발견한 집합론을 공리 집합론과 구분 짓기 위해 붙인 것이다. ‘naïve’ 란 단어를 ‘소박한’이라고 긍정적으로 해석했지만, ‘덜 성숙된’, ‘생각이 얕은’과 같은 부정적인 뉘앙스를 가진 단어이다.

칸토어는 제논의 역설 이후 금기시되어온 무한의 개념을 집합론을 통해 다시 꺼내들었다. 이는 당시 수학자들에게 큰 반발을 불러일으켰다. 푸앵카레는 칸토어의 집합론과 무한 수를 심각한 수학 질병이라고 불렀고, 크로네커는 칸토어를 과학 사기꾼, 배교자 등으로 매도했다. 철학자들과 성직자들도 비난에 가세했다. 이후 러셀의 역설과 베른의 역설과 같은 역설들이 쏟아져 나왔다.

이러한 상황에서 당대 일부 수학자들은 칸토어 집합론의 공리화를 시작했다. 이는 유클리드의 원론의 공리화 방법론을 집합론에 도입한 것이다. 집합론을 체계화했지만, 러셀의 역설을 비롯한 역설들을 극복하기 위해 시작되었다는 점에서 문제의 소지도 있다. 특히 이러한 역설들을 극복하기 위해 도입된 계급의 공리는 그 필요성이 의문일 뿐만 아니라, 칸토어의 집합론에 심각한 제약을 가한다.

일반적으로 대부분의 집합은 자신을 원소로 포함하지 않는다. 자신을 원소로 포함하지 않는 집합을 "정규 집합", 자신을 원소로 포함하는 집합을 "비정규 집합"이라고 하자. 모든 집합은 정규 집합이거나 비정규 집합이다. 예를 들어, 평면에 있는 모든 정사각형의 집합은 정규 집합이다. 반대로, 평면에 있는 '''아닌''' 모든 것을 포함하는 여집합은 비정규 집합이다.

모든 정규 집합의 집합 ''R''을 고려하여 ''R''이 정규 집합인지 비정규 집합인지 판단해 보자. ''R''이 정규 집합이라면, 모든 정규 집합의 집합(자기 자신)에 포함되므로 비정규 집합이 된다. 반면에 ''R''이 비정규 집합이라면, 모든 정규 집합의 집합(자기 자신)에 포함되지 않으므로 정규 집합이 된다. 이는 ''R''이 정규 집합도 비정규 집합도 아님을 의미하며, 이것이 바로 러셀의 역설이다.

전개 법칙에 따른 고전 논리에서는 어떤 명제든지 모순으로부터 증명될 수 있다. 따라서 러셀의 역설과 같은 모순이 공리적 집합론에 존재하는 것은 치명적이다. 어떤 공식이든 참으로 증명될 수 있다면 참과 거짓의 전통적인 의미를 파괴하기 때문이다. 더욱이 집합론은 수학의 다른 모든 분야의 공리적 발전의 기초로 여겨졌기 때문에, 러셀의 역설은 수학 전체의 기초를 위협했다.

이러한 문제를 해결하기 위해 여러 가지 방법이 제안되었다.

공리적 집합론에 의한 해결: 분출 공리를 통해 역설을 발생시키는 집합의 구성을 제한한다.
단순형 이론에 의한 해결: 항에 형(type)을 할당하고, 술어 기호 ∈의 형태를 제한하여 모순을 회피한다.
부분구조 논리에 의한 해결: 고전 논리를 축약 규칙을 제거한 부분 구조 논리로 교체하고, 외연성 공리를 배제하여 무모순성을 확보한다.
다가 논리에 의한 해결: 진리값을 불확정값으로 해석하여 역설을 회피한다. (단, 막소규의 역설과 같은 다른 역설이 발생할 수 있다.)

5. 1. 체르멜로의 공리계 (ZFC)

에른스트 체르멜로는 1908년에 순진한 집합론의 역설을 피하기 위해 집합론의 공리계를 제안했다. 그는 임의의 집합 이해를 그의 분리 공리와 같은 더 약한 존재 공리로 대체했다.^[9] 1920년대에 아브라함 프랭켈, 토랄프 스콜렘, 그리고 체르멜로 자신이 이 공리 이론에 대한 수정을 제안하여 ZFC라고 불리는 공리적 집합론을 만들었다. 체르멜로의 선택 공리가 논란이 되지 않게 되자 이 이론은 널리 받아들여졌고, ZFC는 현재까지 표준적인 공리적 집합론으로 남아 있다.

ZFC는 모든 성질에 대해 그 성질을 만족하는 모든 것들의 집합이 존재한다고 가정하지 않는다. 대신, 임의의 집합 ''X''가 주어지면, 일차 논리를 사용하여 정의할 수 있는 ''X''의 모든 부분 집합이 존재한다고 주장한다. 러셀의 역설에 의해 정의된 객체 ''R''은 어떤 집합 ''X''의 부분 집합으로 구성될 수 없으므로 ZFC에서는 집합이 아니다. ZFC의 일부 확장, 특히 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론에서는 ''R''과 같은 객체를 진정한 클래스라고 한다.

ZFC는 유형에 대해서는 언급하지 않지만, 폰 노이만 우주(cumulative hierarchy)는 유형과 유사한 계층의 개념을 가지고 있다. 체르멜로 자신은 일차 논리의 언어를 사용하여 스콜렘이 ZFC를 공식화한 것을 결코 받아들이지 않았다. 대신 체르멜로는 "부분 집합을 분리하는 데 사용되는 명제 함수(조건 또는 술어)와 치환 함수는 '전적으로 임의의'(ganz ''beliebig'')"일 수 있다고 주장했다. 이 진술에 대해 주어진 현대적 해석은 체르멜로가 스콜렘의 역설을 피하기 위해 고차 논리(higher-order logic)를 포함하려고 했다는 것이다. 1930년경 체르멜로는 기초 공리를 도입했는데, 이는 "순환적이고 근거 없는 집합을 금지함으로써 [ZFC]는 TT[유형 이론](type theory)의 중요한 동기 중 하나인 논증 유형의 원리를 통합했다". 기초 공리를 포함한 체르멜로가 선호한 이 2차 ZFC는 풍부한 누적 계층을 허용했다. "체르멜로의 '계층'은 괴델과 타르스키가 제시한 현대적 단순 TT[유형 이론](type theory)의 유형과 본질적으로 동일하다. 체르멜로가 그의 모델을 개발한 누적 계층을 초한 유형이 허용되는 누적 TT의 우주로 묘사할 수 있다. (클래스가 구성된다는 생각을 버리고 비예측적인 관점을 채택했다면 초한 유형을 받아들이는 것은 불자연스럽지 않다.) 따라서 단순 TT와 ZFC는 이제 본질적으로 동일한 의도된 객체에 대해 '말하는' 시스템으로 간주될 수 있다. 주요 차이점은 TT가 강력한 고차 논리에 의존하는 반면, 체르멜로는 2차 논리를 사용했고, ZFC는 1차 공식화도 가능하다는 점이다. 누적 계층의 1차 '묘사'는 가산 모델의 존재(스콜렘의 역설)에 의해 보여지듯이 훨씬 약하지만, 몇 가지 중요한 장점을 가지고 있다."^[10]

ZFC에서 집합 ''A''가 주어지면, 자신이 자신이 원소가 아닌 ''A''의 집합들로만 구성된 집합 ''B''를 정의할 수 있다. 러셀의 역설과 같은 이유로 ''B''는 ''A''에 있을 수 없다. 러셀의 역설의 이 변형은 어떤 집합도 모든 것을 포함하지 않는다는 것을 보여준다.

존 폰 노이만을 비롯한 여러 사람들의 연구를 통해 ZFC가 설명하는 객체의 구조가 명확해졌다. 그것들은 공집합에서 초한 귀납법을 통해 멱집합 연산을 반복하여 구축된 폰 노이만 우주, ''V''의 요소들이다. 따라서 러셀의 역설에 걸리지 않고, ''V''의 요소에 대해 추론함으로써 다시 비공리적인 방식으로 집합에 대해 추론할 수 있다.

공리적 집합론에서는 먼저 집합론을 형식화하고, 어떠한 형태의 집합이 존재하는지를 공리에 의해 규정한다. 소박 집합론에서는 집합의 존재를 보증하기 위해 내포 공리(axiom of comprehension)를 두었다.

임의의 성질 $P(x)$ 에 대해, $P(x)$ 를 만족하는 원소 $x$ 의 집합 $\{ x | P(x) \}$ 이 존재한다.

하지만 내포 공리로부터는

R = \{ x | x \notin x \}

가 구성되어 역설이 발생한다. 따라서 역설을 발생시키는 집합은 구성할 수 없도록 공리를 신중하게 설정해야 한다.

체르멜로는 내포 공리를 분출 공리(axiom of specification)로 약화시켰다.

임의의 성질 $P(x)$ 와 집합 $A$ 에 대해, $P(x)$ 를 만족하는 $A$ 의 원소 $x$ 의 집합 $\{ x \in A | P(x) \}$ 이 존재한다.

이 경우,

R_A = \{ x \in A | x \notin x \}

는

A

의 요소가 아니기 때문에 모순이 발생하지 않는다. 또

R

과 같은 집합은 구성할 수 없으므로 역시 모순은 발생하지 않는다. 현재의 ZFC 집합론에서는 치환 공리로부터 분출 공리가 유도되기 때문에, 분출 공리 자체는 공리로 하지 않는다.

5. 2. 폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론 (NBG)

폰 노이만-베르나이스-괴델 집합론(NBG)은 ZFC의 확장판이다. NBG 집합론에서는 ZFC에서 집합으로 정의할 수 없는 대상, 즉 'R'과 같은 객체를 진정한 클래스(proper class)라고 부른다.^[9]

5. 3. 유형 이론과 신기초 (NF)

유형 이론(type theory)과 윌러드 반 오먼 콰인(Willard van Orman Quine)의 신기초(New Foundations), 스콧-포터 집합론(Scott–Potter set theory)은 러셀의 역설에 대한 해결책으로 제시된 이론들이다. 이들은 유형 이론과 더 가까운 기본 전략을 취한다.

5. 4. 기타 해결책

유형 이론과 더 가까운 기본 전략을 가진 러셀의 역설에 대한 다른 해결책으로는 윌러드 반 오먼 콰인의 신기초와 스콧-포터 집합론이 있다. 또 다른 접근 방식은 이중 확장 집합론에서와 같이 적절히 수정된 이해 계획으로 여러 가지 멤버십 관계를 정의하는 것이다.

6. 모순의 해소 (일본어판)

러셀은 집합이 사물과는 다른 존재 방식을 가지며, 세계를 구성하는 존재자가 아니라 논리적 허구이고, 거기에는 계층의 차이가 있다고 보았다. 따라서 "집합이 자기 자신의 원소인지 아닌지 묻는 것"은 "참도 거짓도 아니고" "무의미"하다고 주장했다. 즉, 집합은 기술의 이론에서 명확히 하는 불완전 기호이며, 스콜라적 플라톤적 의미에서 "무시간적으로 존재한다"고 생각해서는 안 된다는 것이다. 사물의 존재 차원과 집합이 논해지는 차원은 혼동되어서는 안 되며, 어떤 계층의 대상에 대해서는 참과 거짓을 말할 수 있지만, 다른 계층의 대상에 대해서는 의미 있게 말할 수 없다. 우리는 어떤 속성을 일반적인 명제에 의미 있게 귀속시킬 수 없고, 단지 특정 차원의 명제에만 의미 있게 귀속시킬 수 있다(러셀의 계층 이론).

집합론이 형식화되지 않은 것이 모순의 원인이 아니며, 이 역설은 고전 술어 논리 위의 이론으로 형식화된 무제한의 내포 공리를 갖는 소박 집합론이나 직관주의 논리 위의 소박 집합론에서도 발생한다. 따라서 논리를 고전 논리에서 직관주의 논리로 변경하더라도 러셀의 역설은 회피할 수 없다.

6. 1. 공리적 집합론에 의한 해결

공리적 집합론에서는 집합론을 형식화하고, 공리를 통해 어떤 집합이 존재하는지를 규정한다. 소박 집합론에서는 다음과 같은 내포 공리(axiom of comprehension)를 사용하여 집합의 존재를 보장했다.

: 임의의 성질

P(x)

에 대해,

P(x)

를 만족하는 원소

x

의 집합

\{ x | P(x) \}

이 존재한다.

그러나 이 공리로부터는

R = \{ x | x \notin x \}

와 같은 집합이 구성되어 역설이 발생한다. 따라서 집합론의 공리는 통상적인 수학을 전개하기에 충분하면서도 역설을 일으키는 집합은 구성할 수 없도록 신중하게 설정해야 한다.

; 1. 공리적 집합론에 의한 해결^[27]

: 내포 공리를 분출 공리(axiom of specification)로 약화시켜 문제를 해결한다. (체르멜로)

:: 임의의 성질

P(x)

와 집합

A

에 대해,

P(x)

를 만족하는

A

의 원소

x

의 집합

\{ x \in A | P(x) \}

이 존재한다.

: 이 경우,

R_A = \{ x \in A | x \notin x \}

는

A

의 요소가 아니므로 자신을 원소로 포함하지 않아도 모순이 발생하지 않는다. 또한

R

과 같은 집합은 구성할 수 없으므로 모순은 발생하지 않는다.

:(현재의 ZFC 집합론에서는 프랭켈이 설정한 치환 공리(axiom schema of replacement)로부터 분출 공리가 유도되므로, 분출 공리 자체는 공리로 두지 않는다.)

: 정칙성 공리(axiom of regularity)는

x \in x

와 같이 순환적인 귀속 관계를 가지는 집합의 존재를 부정한다. 그러나 정칙성 공리가 러셀의 역설을 직접 배제하는 것은 아니다. 공리를 추가해도 증명 가능한 논리식은 줄어들지 않기 때문이다. 반기초 공리(anti-foundation axiom)는 순환적인 집합의 존재를 허용하는 공리이며, 이 체계의 무모순성은 ZFC 집합론의 무모순성으로부터 유도된다.

; 2. 단순형 이론에 의한 해결^[29]

: 항에 형(type)이라고 불리는 자연수(0, 1, 2, …)를 할당하고, 술어 기호 ∈을 (n계의 항)∈(n+1계의 항) 형태로만 허용하여(논리식 문법 제한) 모순을 피한다. 단순형 이론은 계층마다 무제한의 내포 공리를 가지지만 무모순이다.

; 3. 부분구조 논리에 의한 해결^[30]

: 고전 논리를 축약 규칙을 제거한 부분 구조 논리(그리신 논리, BCK 논리 등)로 바꾸고, 무제한의 내포 공리를 인정하는 대신 외연성 공리(axiom of extensionality)를 배제한다.^[31]^[32]^[33]^[34]^[35]^[36]^[37]^[38]^[39]^[40] 외연성 공리가 배제되는 이유는 이 공리로부터 축약 규칙이 유도되어 모순되기 때문이다.

: 우카셰비치의 3가 논리에서는

R\in R

의 진리값을 불확정값으로 해석하면 러셀의 역설이 발생하지 않지만, 막소규의 역설이라는 다른 역설이 발생한다.^[41]^[42]^[43]^[44] 역설을 피하려면 무한 우카셰비치 논리를 사용해야 한다.^[45]^[46]^[47]

6. 2. 단순형 이론에 의한 해결

항에 형(type)이라고 불리는 자연수 0, 1, 2, …를 할당하고, 술어 기호 ∈을 (n계의 항)∈(n+1계의 항)의 형태로만 허용한다. 즉, 논리식의 문법을 제한함으로써 모순을 회피한다. 단순형 이론은 계층마다 무제한의 내포 공리를 가지지만, 모순은 발생하지 않는다.^[29]

6. 3. 부분구조 논리에 의한 해결

고전 논리를 수정하여 러셀의 역설을 해결하는 방법은 다음과 같다. 고전 논리에서 축약 규칙을 제거한 부분 구조 논리(예: 그리신 논리, BCK 논리)를 사용한다. 이러한 논리 체계에서는 무제한적인 내포 공리를 허용하는 대신 외연성 공리를 배제한다. 외연성 공리는 축약 규칙을 유도하여 모순을 발생시키기 때문이다.^[30]

예를 들어, BCKβ 논리에서는 다음과 같이 외연성 공리로부터 모순이 유도된다.^[30]

먼저 다음과 같은 집합 A를 생각한다.

:

A = \{ x | A = \varnothing \}

여기서

\varnothing

는 공집합이고, 다음과 같이 정의된다.

:

\varnothing = \{ x | \bot \}

집합

A

의 정의에는 자기 참조가 포함되지만, 불변점 결합자를 통해 가능하다.

이 집합론에서 외연성 공리가 성립한다고 가정하면, 다음과 같이 모순이 유도된다. 등호

x = y

형태의 가정에 대해서는 축약 규칙을 사용할 수 있다는 점에 주의해야 한다.

1.

A = \varnothing

를 가정한다.

2. 임의의 집합

x

를 선택한다.

3. 가정 및

A

의 정의에 따라

x \in A

가 성립한다.

4. 다시 가정을 사용하면

x \in \varnothing

가 성립한다.

5. 공집합의 정의에 따라

\bot

(모순)이 유도된다.

6. 이는 불합리하므로

A \neq \varnothing

이다.

이제

y \in A

를 한 번만 가정한다.

1. 가정 및

A

의 정의에 따라

A = \varnothing

가 성립한다.

2. 그런데

A \neq \varnothing

이므로 모순

\bot

이 유도된다.

3. 폭발 원리에 따라

y \in \varnothing

가 성립한다.

반대로

y \in \varnothing

를 한 번만 가정한다.

1. 가정 및 공집합의 정의에 따라 모순

\bot

이 유도된다.

2. 폭발 원리에 따라

y \in A

가 성립한다.

3. 따라서

A

와 공집합은 외연적으로 동일하다.

4. 외연성 공리에 따라

A = \varnothing

가 성립한다.

5. 이는

A \neq \varnothing

와 모순된다.

우카셰비치의 3가 논리를 사용하는 소박 집합론에서는

R\in R

의 진리값을 불확정값으로 해석하여 러셀의 역설을 피할 수 있다. 그러나 이 경우 막소규의 역설이라는 다른 역설이 발생한다.^[41] 이러한 역설을 피하려면 무한 우카셰비치 논리를 사용해야 한다.^[45]

7. 응용 및 관련 주제

일반적으로 접하는 대부분의 집합은 자기 자신을 원소로 포함하지 않는다. 이러한 집합을 "정규 집합"이라고 하고, 자신을 원소로 포함하는 집합을 "비정규 집합"이라고 부른다. 모든 집합은 정규 집합이거나 비정규 집합이다. 예를 들어 평면 위에 있는 모든 정사각형의 집합은 정규 집합이다. 반면, 평면에 있는 정사각형이 '''아닌''' 모든 것을 포함하는 여집합은 비정규 집합이다.

모든 정규 집합의 집합 ''R''을 생각해 보자. ''R''이 정규 집합이라면, 모든 정규 집합의 집합(자기 자신)에 포함되므로 비정규 집합이 된다. 반대로 ''R''이 비정규 집합이라면, 모든 정규 집합의 집합(자기 자신)에 포함되지 않으므로 정규 집합이 된다. 이는 ''R''이 정규 집합도 비정규 집합도 아님을 의미하며, 이것이 바로 러셀의 역설이다.

자기 자신을 원소로 포함하지 않는 집합을 "M 집합"이라 하고, 모든 M 집합을 원소로 하는 집합 R을 만들면, "X는 R에 포함된다"는 명제는 "X는 X에 포함되지 않는다"와 동치가 된다. 특히 X=R일 때, "R은 R에 포함된다"는 명제는 "R은 R에 포함되지 않는다"와 동치가 되어 역설이 발생한다.

집합은 사물과는 다른 존재 방식을 가지며, 세계를 구성하는 존재자가 아니라 논리적 허구이다. 여기에는 계층의 차이가 존재한다. "집합이 자기 자신의 원소인지 아닌지" 묻는 것은 "참도 거짓도 아니고", "무의미"하다. 러셀은 "집합"이나 "수"가 스콜라적 플라톤주의|플라톤]]적 의미에서 "무시간적으로 존재한다"고 생각해서는 안 된다는 것을 깨달았다. 사물의 존재 차원과 집합이 논해지는 차원은 혼동되어서는 안 되며, 어떤 계층의 대상에 대해 참과 거짓을 말할 수 있어도, 다른 계층의 대상에 대해서는 의미 있게 말할 수 없다.

이 역설은 고전 술어 논리 위의 이론으로 형식화된 무제한의 내포 공리를 갖는 소박 집합론이나 직관주의 논리 위의 소박 집합론에서도 발생한다. 따라서 논리를 고전 논리에서 직관주의 논리로 변경하더라도 러셀의 역설은 피할 수 없다.

7. 1. 러셀류 역설

이발사의 역설은 자신은 면도하지 않지만 다른 사람은 면도하는 모든 남자만 면도하는 이발사를 가정할 때 발생하는 역설이다. 이는 러셀의 역설과 유사한 구조를 가지고 있다.^[25] 이발사의 역설은 그러한 이발사가 존재하지 않거나, 이발사가 남자가 아니라는 점을 통해 쉽게 반박될 수 있지만, 러셀의 역설은 집합 개념 정의의 불충분함을 드러낸다는 점에서 더 근본적인 문제 제기라고 할 수 있다.

그렐링-넬슨 역설은 단어와 의미를 사용하여 러셀의 역설과 유사한 구조를 만들어낸다. 이 역설은 이발사의 역설과 달리, 의미 있게 정의된 단어에 대해서는 반박하기 어렵다는 특징을 가진다.

이 외에도, "자신을 묘사하지 않는 모든 단어를 묘사하는 묘사자(단어)"를 이용한 그렐링-넬슨 역설, "자신을 나타내지 않는 모든 나타내는 것(숫자)을 나타내는 나타내는 것(숫자)"를 이용한 리차드의 역설 등 러셀의 역설과 유사한 구조를 가진 다양한 역설들이 존재한다.^[26]

7. 2. 관련 역설

부랄리-포르티 역설(Burali-Forti paradox): 모든 정렬의 순서형에 관한 역설이다.^[1]
클린-로서 역설(Kleene–Rosser paradox): 자기 부정 명제를 통해 원래의 람다 대수가 모순됨을 보이는 역설이다.^[1]
커리의 역설(Curry's paradox) (해스켈 커리(Haskell Curry)의 이름을 딴): 부정을 필요로 하지 않는 역설이다.^[1]
가장 작은 재미없는 정수 역설(Interesting number paradox|smallest uninteresting integer)^[1]
타입 이론(type theory)의 지라르의 역설(Girard's paradox)^[1]

참조

_[1] 서적 Correspondence with Frege University of Chicago Press
_[2] 서적 The Principles of Mathematics W. W. Norton & Company
_[3] 웹사이트 Russell's Paradox https://plato.stanfo[...]
_[4] 서적 Foundations of Set Theory Elsevier
_[5] 간행물 Zermelo's Discovery of the "Russell Paradox"
_[6] 서적 Vita Mathematica - Georg Cantor Birkhäuser
_[7] 백과사전 Russell's Paradox http://plato.stanfor[...]
_[8] 논문 Infinite Sets and Numbers https://open.library[...] University of British Columbia
_[9] 웹사이트 Believing the Axioms I https://www.cs.umd.e[...] Association for Symbolic Logic
_[10] 서적 Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Modern Mathematics Springer
_[11] 서적 The Autobiography of Bertrand Russell George Allen and Unwin Ltd.
_[12] 서적 One hundred years of Russell's paradox https://books.google[...] Walter de Gruyter 2016-02-22
_[13] 문서
_[14] 서적 The Frege reader https://books.google[...] Wiley 2016-02-22
_[15] 문서
_[16] 문서
_[17] 문서 Appendix of Grundgesetze der Arithmetik, vol. II
_[18] 문서
_[19] 문서 On Frege's way out
_[20] 문서
_[21] 문서
_[22] 문서
_[23] 문서 A new proof of the possibility of a well-ordering
_[24] 간행물 Zermelo's discovery of the 'Russell Paradox'
_[25] 웹사이트 barber paradox https://www.oxfordre[...] 2024-02-04
_[26] 뉴스 Play That Funky Music Was No. 1 40 Years Ago https://www.mprnews.[...] 2016-09-27
_[27] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (1) https://ytb.hatenabl[...] 2007-09-12
_[28] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (1.5) : NFと自己言及性に関する補足 https://ytb.hatenabl[...] 2007-09-14
_[29] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (2) : Restriction of syntax https://ytb.hatenabl[...] 2007-09-15
_[30] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3) : Restriction of logic https://ytb.hatenabl[...] 2007-09-17
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_[32] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策（補足） https://ytb.hatenabl[...] 2007-09-18
_[33] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策（本日の修正） https://ytb.hatenabl[...] 2007-09-19
_[34] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.1) : グリシン論理 (1) https://ytb.hatenabl[...] 2007-09-20
_[35] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.2) : グリシン論理 (2) https://ytb.hatenabl[...] 2007-09-22
_[36] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.3) : グリシン論理 (3) https://ytb.hatenabl[...] 2007-09-23
_[37] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.4) : グリシン論理に関して前回の補足 https://ytb.hatenabl[...] 2007-09-26
_[38] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.5) : グリシン論理 (4) https://ytb.hatenabl[...] 2007-09-29
_[39] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.6) : 補足 https://ytb.hatenabl[...] 2007-09-30
_[40] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.1.7) : 証明論的アプローチへの補足；Fitchの “demonstrably consistent” な set theory F https://ytb.hatenabl[...] 2007-10-21
_[41] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2) : 多値論理 https://ytb.hatenabl[...] 2007-10-07
_[42] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.1) : クリーネ3値論理・・・お手軽に不動点を https://ytb.hatenabl[...] 2007-10-07
_[43] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.2) : ウカシェーヴィチ3値論理・・・失敗例 https://ytb.hatenabl[...] 2007-10-07
_[44] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.2.5) : 補足・・・ウカシェーヴィチの “Spiritual war” https://ytb.hatenabl[...] 2007-10-11
_[45] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.3) : ウカシェーヴィチ無限値述語論理 ∀L・・・包括原理の限界 https://ytb.hatenabl[...] 2007-10-13
_[46] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.4.1) :ファジイ論理・・・一番狭い意味で (1) https://ytb.hatenabl[...] 2007-10-14
_[47] 웹사이트 ラッセルのパラドックス：傾向と対策 (3.2.4.2) :ファジイ論理・・・一番狭い意味で (2) https://ytb.hatenabl[...] 2007-10-21
_[48] 서적 One hundred years of Russell's paradox https://books.google[...] Walter de Gruyter 2004
_[49] 서적 A Modern Perspective on Type Theory Springer 2005

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